¿Qué es una Razón o Relación?

Se denomina razón a la comparación que se establece entre dos cantidades homogéneas pudiendo ser sus valores cualquier número real, estas cantidades pueden compararse de dos maneras, una de ellas sería hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas y la otra hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones:

• Razón aritmética o por diferencia
• Razón geométrica o por cociente

Razón Aritmética o por Diferencia

Es cuando se comparan dos cantidades mediante la operación de la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra.

Ejemplo:

Cantidad de canicas  de Fhary    : 21
Cantidad de canicas   de Jimi      : 7

Entonces diremos que el número de canicas de Fhary excede al de Jimi en 14.

Propiedades de las Razones Aritméticas o por Diferencias

Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia:

Si al antecedente de una razón aritmética se le suma o se le resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.

Si al consecuente de una razón aritmética se le suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.

Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varia.

Razón Geométrica o por Cociente

Es cuando se comparan dos cantidades mediante la operación de la división y consiste en determinar cuántas veces una de las cantidades contiene a la otra cantidad.

Ejemplo:

Cantidad de canicas de Fhary     : 21
Cantidad de canicas de Jimi        : 7

El número de canicas de Fhary es tres veces el número de canicas que tiene  Jimi.

Propiedades De Las Razones Geométricas O Por Cocientes

Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados:

Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.

Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.

Si all antecedente y al consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un mismo número, la razón, no varía.

Observación: Cuando no se indique la razón, se asumirá que es una razón geométrica.

¿Qué es una Proporción?

Cuando se tiene la igualdad de dos razones del mismo tipo (ambas aritméticas o ambas geométricas).

Cuando 2 razones  tienen el mismo valor, se dice que guardan la misma proporción o que dichas razones son equivalentes, por lo tanto, al iguarlas se forma lo que se denomina una proporción. Existen dos tipos de proporción: aritmética y geométrica.

Proporción Aritmética o Equidiferencia

Es la igualdad de dos razones aritméticas equivalentes, existen:

Proporción Aritmética Discreta:

Cuando todos los términos de la proporción aritmética son diferentes entre sí.

En esta ecuación aparece un término especial:

Además “a y d” se llaman términos extremos y “b y c” se llaman términos medios.

Proporción Aritmética Continua:

Cuando los términos medios de la proporción aritmética  son iguales.

En esta ecuación aparecen dos términos especiales:

Proporción Geométrica o Equicociente

Es la igualdad de dos razones geométricas equivalentes existen:

Proporción Geométrica Discreta:

Cuando todos los términos de la proporción geométrica son diferentes entre sí.

En esta ecuación aparece un término especial:

Además “a y d” se llaman términos extremos y “b y  c” se llaman términos medios.

Proporción Geométrica Continua:

Cuando los términos medios de la proporción geométrica  son iguales.

En ésta ecuación aparecen dos términos especiales:

Propiedades para una Proporción

Para la proporción:

Se cumple que las siguientes propiedades:

Propiedades para una Serie de Razones Geométricas Equivalentes

Existe una serie de razones geométricas equivalentes cuando se igualan varias razones geométricas como:

I.-  La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes NO hace variar la razón, es decir, la razón permanece constante:      

II.- El producto de los antecedentes sobre el producto de los consecuentes  hace variar la razón. La razón se eleva a la cantidad de razones que se utilizan:

Ejemplos de Razones y Proporciones

Ahora veremos algunos ejemplos de razones y proporciones.

Ejemplo 01:

La suma de dos números es 450 y la relación entre ellos es como 7 es a 8. Hallar el número menor.

Solución:

Sean los números “a” y “b” que están en la relación:

Por proporcionalidad se tiene:

Entonces afirmamos que:

• a = 7k
• b = 8k

Reemplazando en la condición

Como pide hallar el menor:

Ejemplo 02:

Las edades de Jimi y Fhary estan en la relación de 11 es a 10, si hace 9 años las edades estaban en la relación como 8 es 7. Cual será la edad de Fhary cuando su hijo tenga 20 años, si decide tenerlo cuando Jimi tenga 35 años.

Solución:

• Edad de Jimi = A
• Edad de Fhary = B

Entonces tenemos que:

Entonces se tiene que:

• Edad de Jimi = 11k
• Edad de Fhary = 10k

Hace 9 años la relación fue:

Despejando la ecuación

Luego las edades son:

• Edad de Jimi = A = 11k = 11(3) = 33 años
• Edad de Fhary = B = 10k = 10(3) = 30 años

Luego cuando Jimi tenga 35 años habrán pasado 2 años entonces nace el hijo de Fhary, entonces la edad de Fhary cuando su hijo cumpla 20 años será:

Edad de Fhary + 2 años + 20 = 30 + 2 + 20

Ejemplo 03:

La razón  de dos números es 0,375; si la diferencia de los términos es 35, hallar el consecuente.

Solución:

Sean los números “a” y “b” entonces:

Hallando el consecuente:

Ejemplo 04:

Si a los números 12, 20, 2 y 5 se les añade una misma cantidad se forma entre ellos una proporción geométrica. Hallar la cantidad añadida.

Solución:

Si añadimos “x” se tiene (12+x); (20+x); (2+x) y (5+x) luego formamos la proporción geométrica: